在非法拘禁刑事拘留的14天或延长期限的37天内，嫌疑人享有多项法律权利。根据《刑事诉讼法》的相关规定，嫌疑人有权获知被拘留的原因和依据，有权聘请律师进行辩护，并在被讯问时有权保持沉默。此外，嫌疑人及其律师还有权申请变更强制措施，如取保候审等。若检察院未核准逮捕，嫌疑人应被释放或变更强制措施。
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若嫌疑人在非法拘禁刑事拘留期间未被批准逮捕，根据处理流程：首先，公安机关应立即释放嫌疑人；其次，如认为有必要，可变更强制措施，如取保候审或监视居住，但需确保不妨碍后续侦查和审判。具体操作需依据案件具体情况和法律规定进行。
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从法律角度，非法拘禁刑事拘留后被逮捕的嫌疑人，接下来将面临侦查机关的进一步调查取证，包括讯问、搜查、鉴定等。侦查终结后，案件将移送检察院审查起诉。检察院如认为证据充分、事实清楚，将向法院提起公诉。在审判阶段，嫌疑人将接受法庭审判，法院将依据事实和法律作出判决。